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3.1 : Intégrales doubles


Dans le calcul à une seule variable, la différenciation et l'intégration sont considérées comme des opérations inverses. Par exemple, pour intégrer une fonction (f (x)) il faut trouver la primitive de (f), c'est-à-dire une autre fonction (F(x)) dont la dérivée est (f (x )). Existe-t-il une manière similaire de définir l'intégration des fonctions à valeur réelle de deux variables ou plus ? La réponse est oui, comme nous le verrons bientôt. Rappelons aussi que l'intégrale définie d'une fonction non négative (f (x) ge 0) représentait l'aire « sous » la courbe (y = f (x)). Comme nous allons le voir maintenant, l'intégrale double d'une fonction à valeur réelle non négative (f (x, y) ge 0) représente le volume « sous » la surface (z = f (x, y)).

Soit (f (x, y)) une fonction continue telle que (f (x, y) ge 0 ext{ pour tout }(x, y)) sur le rectangle (R = {( x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}) dans (mathbb{R}^2). Nous l'écrirons souvent comme (R = [a,b] imes [c,d]). Pour tout nombre (x∗) dans l'intervalle ([a,b]), coupez la surface (z = f (x, y)) avec le plan (x = x∗) parallèle à le plan (yz). Alors la trace de la surface dans ce plan est la courbe (f (x∗, y)), où (x∗) est fixe et seul (y) varie. L'aire (A) sous cette courbe (c'est-à-dire l'aire de la région entre la courbe et le plan (xy)) comme (y) varie sur l'intervalle ([c,d]) alors ne dépend que de la valeur de (x∗). Donc en utilisant la variable (x) au lieu de (x∗), soit (A(x)) cette zone (voir Figure 3.1.1).

Alors (A(x) = int_c^d f (x, y)d y) puisque nous traitons (x) comme fixe, et seul (y) varie. Cela a du sens puisque pour un (x) fixe la fonction (f (x, y)) est une fonction continue de (y) sur l'intervalle ([c,d]), donc nous savons que l'aire sous la courbe est l'intégrale définie. L'aire (A(x)) est une fonction de (x), donc par la méthode de la "tranche" ou de la section transversale du calcul à une variable, nous savons que le volume (V) de la solide sous la surface (z = f (x, y)) mais au-dessus du plan (xy) sur le rectangle (R) est l'intégrale sur ([a,b]) de cette croix- aire de section (A(x)):

[V = int_a^b A(x)dx = int_a^b left [int_c^d f (x, y)d y ight ] dx label{Eq3.1}]

Nous appellerons toujours ce volume « le volume sous la surface ». L'expression ci-dessus utilise ce qu'on appelle intégrales itérées. D'abord la fonction (f (x, y)) est intégrée en fonction de (y), en traitant la variable (x) comme une constante (c'est ce qu'on appelle intégrant par rapport à (y)). C'est ce qui se passe dans l'intégrale « interne » entre les crochets dans l'équation ef{Eq3.1}. C'est la première intégrale itérée. Une fois cette intégration effectuée, le résultat est alors une expression impliquant uniquement (x), qui peut alors être intégré par rapport à (X). C'est ce qui se passe dans l'intégrale « externe » ci-dessus (la deuxième intégrale itérée). Le résultat final est alors un nombre (le volume). Ce processus consistant à parcourir deux itérations d'intégrales est appelé double intégration, et la dernière expression dans l'équation ef{Eq3.1} est appelée un intégrale double.

Notez que l'intégration de (f (x, y)) par rapport à (y) est l'opération inverse consistant à prendre la dérivée partielle de (f (x, y)) par rapport à (y). De plus, nous aurions tout aussi bien pu prendre l'aire des sections transversales sous la surface qui étaient parallèles au plan (xz), qui ne dépendrait alors que de la variable (y), de sorte que le volume (V) serait

[V = int_c^d left [int_a^b f (x, y)dx ight ] dy label{Eq3.2}]

Il s'avère qu'en général l'ordre des intégrales itérées n'a pas d'importance. De plus, nous écarterons généralement les crochets et écrirons simplement

[V=int_c^d int_a^b f (x, y)dx d y label{Eq3.3}]

où il est entendu que le fait que (dx) soit écrit avant (dy) signifie que la fonction (f (x, y)) est d'abord intégrée par rapport à (x) en utilisant le " " limites d'intégration (a ext{ et }b), puis la fonction résultante est intégrée par rapport à y en utilisant les limites "extérieures" d'intégration (c ext{ et }d). Cet ordre d'intégration peut être modifié si cela est plus pratique.

Exemple 3.1

Trouvez le volume (V) sous le plan (z = 8x +6y) sur le rectangle (R = [0,1] imes [0,2]).

Solution

On voit que (f (x, y) = 8x+6y ge 0 ext{ pour }0 le x le 1 ext{ et }0 le y le 2), donc :

[ onumber egin{align} V&=int_0^2 int_0^1 (8x+6y)dx ,dy [4pt] onumber &= int_0^2 left ( 4x^2 +6x y ig |_{x=0}^{x=1} ight )dy [4pt] onumber &=int_0^2 (4+6y)dy [4pt] onumber &=4y+3y ^2 ig |_0^2 [4pt] &=20 end{align}]

Supposons que nous ayons changé l'ordre d'intégration. Nous pouvons vérifier que nous obtenons toujours la même réponse :

[ onumber egin{align}V&=int_0^1 int_0^2 (8x+6y)dy ,dx [4pt] onumber &=int_0^1 left ( 8x y+3y^2 ig |_{y=0}^{y=2} ight )dx [4pt] onumber &=int_0^1 (16x+12)dx [4pt] &=8x^2 +12x ig |_0^1 [4pt] onumber &=20 end{align}]

Exemple 3.2

Trouvez le volume (V) sous la surface (z = e^{x+y}) sur le rectangle (R = [2,3] imes [1,2]).

Solution

On sait que (f (x, y) = e^{x+y} > 0 ext{ pour tout }(x, y)), donc

[ onumber egin{align} V &=int_1^2 int_2^3 e^{x+y} dx, dy [4pt] onumber &= int_1^2 left (e^{ x+y} ig |_{x=2}^{x=3} ight )dy [4pt] onumber &= int_1^2 (e^{y+3}-e^{y+ 2})dy [4pt] onumber &= e^{y+3}-e^{y+2} ig |_1^2 [4pt] onumber &= e^5 − e^4 −(e^4 − e^3 ) = e^5 −2e^4 + e^3 end{align} ]

Rappelons que pour une fonction générale (f (x)), l'intégrale (int_a^bf (x)dx) représente la différence de l'aire en dessous de la courbe (y = f (x)) mais au dessus l'axe (x) lorsque (f (x) ge 0), et la zone au-dessus de la courbe mais en dessous de l'axe (x) lorsque (f (x) le 0). De même, l'intégrale double de toute fonction continue (f (x, y)) représente la différence du volume sous la surface (z = f (x, y)) mais au-dessus du plan (xy) quand (f (x, y) ge 0), et le volume au-dessus de la surface mais au-dessous du plan (xy) quand (f (x, y) le 0). Ainsi, notre méthode de double intégration au moyen d'intégrales itérées peut être utilisée pour évaluer la double intégrale de quelconque fonction continue sur un rectangle, que (f (x, y) ge 0) ou non.

Exemple 3.3

Évaluer (int_0^{2pi}int_0^{pi}sin(x+y)dx,dy )

Solution

Notez que (f (x, y) = sin(x+ y)) est à la fois positif et négatif sur le rectangle ([0,pi] imes [0,2pi]). On peut encore évaluer l'intégrale double :

[ onumber egin{align} int_0^{2pi} int_0^{pi}sin(x+y)dx,dy &=int_0^{2pi} left (-cos( x+y)ig |_{x=0}^{x=pi} ight )dy [4pt] onumber &= int_0^{2pi} (-cos(y+pi)+ cos{,y})dy [4pt] onumber &=-sin(y+pi)+sin{,y}ig |_0^{2pi} = -sin{,3pi }+sin{,2pi} - (-sin{,pi}+sin{,0}) [4pt] onumber &=0 end{align} ]


Voir la vidéo: Les intégrales doubles (Octobre 2021).